前面我们已经介绍通过多面体的展开图来制作多面体模型的方法，是否任何一个多面体都存在平面展开图呢？本节我们将对多面体的平面展开图进行探索。下面我先给出多面体展开图的一些定义。

多面体的展开图：我们将一个多面体用剪刀沿着棱剪开每一个面（但面不能剪掉），然后将每一个面平铺在一个平面上（不允许有面重叠的情况），这样得到的网络结构称为几何体的展开图，也称为标准展开图。

多面体的非标准展开图：在以上条件下，我们允许将多面体的面剪开（不一定沿着棱剪），这样得到的网络结构称为几何体的非标准展开图。

完全封闭曲面几何体的近似展开图：用一多面体逼近某一曲面几何体，我们将这个多面体的标准展开图称作这个曲面几何体的近似展开图。

不可展开结构单元：如果一多面体的某一结构单元不可展成平面图，则称为不可展开结构单元，否则称为可展开结构单元。

对于一多面体而言，其一顶点周围的面角之和小于或等于360度，则称这个顶点为可展开顶点，反之则称为不可展开顶点，当这个顶点周围的面角之和恰为 360度，则称此顶点为恰好展开顶点。

定理1：一凸多面体展成平面图时相当于剪开的棱数为V—1。

证明：先将一凸多面体的所有面都剪下来，那么相当于剪开的棱数为E，以一个面为基础，将其余的F—1个面按凸多面体的结构顺序拼成展开图，每拼上一个面时，那么所剪开的棱数就少1，所以展开成平面图剪开几何体的棱数为E-（F-1）。由欧拉公式V-E+F=2，得E-（F-1）=V-1。从而得证。

推论1：对于一简单多面体，若能展开成平面图，相当剪开的棱数最多为V-1。

于这个推论我们想说的是，剪开的棱数最少是多少呢，我们猜测剪开的棱数至少为V—1—Q，其中Q为展开图中恰好展开顶点的个数。

推论2：简单多面体的平面展开图种数小于等于E条棱中选取V-1条棱的组合个数（即C(e,v-1)）。

由定理1及组合图论——支撑树一节相关理论可得如下定理：

定理2：简单多面体的平面展开图种数小于等于该多面体支撑树的个数，大于或等于其互不同构的支撑树的个数。

事实上并不能任意剪开凸多面体的V-1条棱得到其平面展开图，下面截图来自于网上的动画演示，它告诉我们存在这样的四面体，剪开其中的3条棱平铺在平面上时，存在面相交的情况；而剪开另外的3条棱平铺在平面上，正好是需要的平面展开图。

正多面体的展开图，利用穷举法可知正四面体有以下两种展开图：

正六面体有如上十一种展开图，正八面体也有十一种展开图，而很难用穷举法得到正十二面体或正二十面体的展开图种数，资料显示它们的展开图有43380种。对于最简单的多面体四面体来说，其展开图种数很容易得到。最不规则的四面体（棱长各不相等的四面体 ）有16 种展开图。至于一简单多面体确切有多少种不同的展开图，还没找到一个好的方法来计算。网上有一篇文章Buekenhout and Parker (1998)已经计算出了4维空间以内的正多面体展开图的总数（Buekenhout and Parker (1998) compute the number of nets for all regular convex polytopes in dimension<=4）。

我们发现正六面体与正八面体有相同数目的展开图。而正六面体可与一个正八面体穿插。因此就有如下猜想：如果两个多面体能穿插则它们有相同数目的展开图。

由于不好判定展开图中会不会存在重叠的部分，我们考虑从一张纸进行折叠和 裁剪两种操作最终能拼接成一个凸多面体，在折叠过程中，我们只要保证新添加的面不和已经折叠的面交叉即可。这样我们将这张纸展开成平面的时候就形成了凸多面体的展开图，这样就证明了任何一个凸多面体都有平面展开图。

引理：如下图，在锐角∠O 的一边OE选择任选一点B，做一条直线交∠O的另外一边于A点，需要满足∠BAO是钝角，再以B点BE为其中一边作∠EBG=∠EBF,假设相交于OA的延长线于G，那么∠BAG>∠AGB。(注：也有可能BG与OA的延长线不相交，这个主要取决于∠O和∠EBF的大小。)

证明：考虑BG与OA的延长线相交的情况。容易得到角之间的关系

∠BAG=∠O+∠OBA ∠ABG=180-2∠OBA ∠AGB=∠OBA-∠O，

比较角的大小，很容易得到∠BAG>∠AGB。

这个引理，我们可以进一步延伸理解为一个∠FAG，进行两次折叠，一次延OE折叠形成BG，另一次延OG折叠形成AD。BG和AD在折叠的方向不会交叉。

这一性质将在后面应用于凸多面体展开图的交叉判断。

关于任何凸多面体是否都有平面展开图？是由舍普哈德（Shephard）在1975提出的：对于凸多面体，一定具有某种裁剪方法使其展开图为简单展开图。以下证明是寻找一个凸多面体展开图的一种统一方式，如有纰漏，请广大读者指正。

证明：任意选取凸多面体的一个顶点O，使用一张纸折叠这个多面角。

如图-1：凸多面角O-A1A2...An，由于顶点O周围的面角之和小于360度，整个平面将会被折叠，OAn与OC重叠，面BOAn与面BOC重叠。事实上折叠之后顶点An在折叠后的图形中周围面角为360度（An-1OAn平面与A1OAn平面），考虑在顶点An添加多边形面，如图-2：顶点An周围已经有两个面角∠OCD和∠OAnE（注意点C与点An是重合点）

考虑以下3种情况

情况1、顶点An剩余面角之和不大于∠OCD或∠OAnE

情况2、顶点An剩余面角之和分成两部分分别不大于∠OCD或∠OAnE

情况3、除情况1、情况2之外，存在一个面角被OF划分成两部分。

针对情况1、情况2、有足够的空间容纳剩余的面角，而不会与面BOAn相交。

针对情况3，我们需要使用面BOAn的区域来容纳一个多边形。假设顶点An的一个面角被OF划分成两部分，由于面角小于180度，所以被OF划分的面角的其中一个角小于90度。

如图-3：假设∠HAnJ 被划分为∠HAnF 和∠JCG，假设∠JCG<90度，∠JCG<=∠HAnF度，以AnF为边在∠BAnF中画一个角∠FAnJ1=∠JCG，当边AnJ1与OB不相交时，面BOAn有足够的空间容纳∠JCG，当边AnJ1与OB相交时，通过边OB折叠，折线J1L与OG相交或者不相交，若不相交，很明显空间足够容纳一个面；若相交于点K，根据引理∠CKJ1<∠KCJ1=∠JCK，将∠LKG 延OG对折到∠L1KG，则∠L1KG=∠LKG=∠CKJ1<∠JCK，通过折叠，覆盖的区域在CJ的右侧，这样空间是足够的。

如果∠JCD之间还有一个面的话，这个面可以从CD边开始连接。以上说明，顶点An周围的面从棱AnE开始连接，向上进行折叠展开的时候不会与已展开面的交叉。

下面需要讨论下，连接棱AnE的面，如果向下进行折叠展开的话会不会与已展开面交叉呢？

如图-5，考虑顶点E，若∠AnEM 没有被类似OF的线分成两部分，则∠AnEM有足够的空间可以作出；若EN划分∠AnEM为∠AnEN和∠NEM,若∠NEM为锐角，则根据前面的讨论可知有足够的空间折叠∠NEM；若∠NEM为钝角，则考虑选取顶点E进行展开（讨论类似于顶点An）,直到找到下一个顶点类似于顶点E，被分割的两个的角，不以棱AnE为边的角为锐角是终止。否者将会得到一个凸多边形面AnEE1E2E3......，该凸多边形的每个内角都是钝角。

在整个寻找展开顶点的过程中，若产生凸多边形AnEE1E2E3......，那么这个凸多边形为多面体的最后一个面，并且这个多边形面的每个角都为钝角（即：至少为凸5边形）。

如图-6，这样的凸多边形，以每个顶点为圆心，以顶点关联的边为半径逆时针做圆弧，圆弧不会与其他边相交。这样可以保证连接棱AnE时，棱EE1不会超过剩余的空间而与已展开面相交。因此整个凸多面体可按照如上方式展开成平面图。